trigonometria - Sentido de las funciones trigonométricas

Sentido de las funciones trigonométricas

Dados los ejes de coordenadas cartesianas xy, de centro O, y un círculo con centro en O y radio 1; el punto de corte de la circunferencia con el lado positivo de las x, lo señalamos como punto B.

La recta r, que pasa por O y forma un ángulo a sobre el eje de las x, corta a la circunferencia en el punto C, la vertical que pasa por C, corta al eje x en A, la vertical que pasa por B corta a la recta r en el punto D.

Por semejanza de triángulos:

$frac{; overline{AC} ;}{overline{OA}} = frac{; overline{BD} ;}{overline{OB}}$

La distancia $overline{OB}$ , es el radio de la circunferencia, en este caso al ser una circunferencia de radio = 1, y dadas las definiciones de las funciones trigonométricas:

$operatorname{sen}(a)= overline{AC} ,$

$cos(a)= overline{OA} ,$

$tan(a)= overline{BD} ,$

tenemos:

$frac{operatorname{sen}(a)}{ cos(a)} = frac{tan(a)}{1}$

La tangente es la relación del seno entre el coseno, según la definición ya expuesta.

Primer cuadrante

Partiendo de esta representación geométrica de las funciones trigonométricas, podemos ver las variaciones de las funciones a medida que aumenta el ángulo a.

Para a = 0, tenemos que A, C, y D coinciden en B, por tanto:

$operatorname{sen}(0)= 0 ,$

$cos(0)= 1 ,$

$tan(0)= 0 ,$

Si aumentamos progresivamente el valor de a, las distancias AC y BD aumentaran progresivamente, mientras que OA disminuirá, percatarse que OA y AC están limitados por la circunferencia y por tanto su máximo valor absoluto será 1, pero BD no está limitado, dado que D es el punto de corte de la recta r que pasa por O, y la vertical que pasa por B, en el momento en el que el ángulo a sea 0,5 $π$ rad, la recta r será la vertical que pasa por O. Dos rectas verticales no se cortan, o lo que es lo mismo la distancia BD será infinita, la tangente toma valor infinito cuando a= 0,5 $π$ rad, el seno vale 1 y el coseno 0.

Segundo cuadrante

Cuando el ángulo a supera el ángulo recto, el valor del seno empieza a disminuir según el segmento AC, el coseno aumenta según el segmento OA, pero en el sentido negativo de las x, el valor del coseno toma sentido negativo, si bien su valor absoluto aumenta cuando el ángulo sigue creciendo.

La tangente para un ángulo a inferior a 0,5 $π$ rad se hace infinita en el sentido positivo de las y, para el ángulo recto la recta vertical r que pasa por O y la vertical que pasa por B no se cortan, por lo tanto la tangente no toma ningún valor real, cuando el ángulo supera los 0,5 $π$ rad y pasa al segundo cuadrante la prolongación de r corta a la vertical que pasa por B en un punto B real, en el lado negativo de las y, la tangente por tanto toma valor negativo, y su valor absoluto disminuye a medida que el ángulo a aumenta progresivamente hasta los $π$ rad.

Resumiendo: en el segundo cuadrante el seno de a, disminuye progresivamente su valor desde 1, que toma para a= 0,5 $π$ rad, hasta que valga 0, para a= $π$ rad, el coseno, toma valor negativo y su valor varia desde 0 para a= 0,5 $π$ rad, hasta –1, para a= $π$ rad.

La tangente conserva la relación:

$tan(a) = frac{operatorname{sen}(a)} {cos(a)}$

incluyendo el signo de estos valores.

Tercer cuadrante

En el tercer cuadrante, comprendido entre los valores del ángulo a de $π$ rad a 1,5 $π$ rad, se produce un cambio de los valores del seno el coseno y la tangente, desde los que toman para $π$ rad:

$operatorname{sen}( pi ) = 0 ,$

$cos( pi ) = -1 ,$

$tan( pi ) = 0 ,$

Cuando el ángulo a aumenta progresivamente, el seno aumenta en valor absoluto en el sentido negativo de las y, el coseno disminuye en valor absoluto en el lado negativo de las x, y la tangente aumenta del mismo modo que lo hacia en el primer cuadrante.

A medida que el ángulo crece el punto A se acerca a O, y el segmento OA, el coseno se hace más pequeño en el lado negativo de las x, el punto C, intersección de la circunferencia y la vertical que pasa por A, se aleja del eje de las x, en el sentido negativo de las y, el seno, y el punto D, intersección de la prolongación de la recta r y la vertical que pasa por B, se aleja del eje las x en el sentido positivo de las y, la tangente.

Cuando el ángulo a alcance 1,5 $π$ rad, el punto A coincide con O y el coseno valdrá cero, el segmento OC será igual al radio de la circunferencia, en el lado negativo de las y, y el seno valdrá –1, la recta r del ángulo y la vertical que pasa por B serán paralelas y la tangente tomara valor infinito por el lado positivo de las y.

El seno el coseno y la tangente siguen conservando la misma relación, tanto en valores como en signo, nótese que cuando el coseno vale cero, la tangente se hace infinito.

Cuarto cuadrante

En el cuarto cuadrante, que comprende los valores del ángulo a entre 1,5 $π$ rad y 2 $π$ rad, las variables trigonométricas varían desde los valores que toman para 1,5 $π$ rad:

$operatorname{sen}(1,5 , pi ) = -1 ,$

$cos(1,5 , pi ) = 0 ,$

$tan(1,5 , pi ) = infty ,$

hasta los que toman para 2 $π$ rad pasando al primer cuadrante, completando una rotación:

$operatorname{sen}(2 , pi ) = sin(0) = 0 ,$

$cos(2 , pi ) = cos(0) = 1 ,$

$tan(2 , pi ) = tan(0) = 0 ,$

como puede verse a medida que el ángulo a, también aumenta el coseno en el lado positivo de las x, el seno disminuye en el lado negativo de las y, y la tangente también disminuye en el lado negativo de las y.

Cuando a, vale 2 $π$ o 0 $π$ al completar una rotación completa los puntos A, B y C, coinciden en D, haciendo que el seno y la tangente valga cero, y el coseno uno, del mismo modo que al comenzarse el primer cuadrante